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  • 2015年高一数学二次函数知识点大全

    编辑:sx_gaohm

    2015-09-30

    一般地,把形如y=ax^2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0,bc可以为0)的函数叫做二次函数,以下是精品学习网为大家整理的高一数学二次函数知识点,希望可以解决您所遇到的相关问题,加油,精品学习网一直陪伴您。

    I.定义与定义表达式

    一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:

    y=ax^2+bx+c

    (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)

    则称y为x的二次函数。

    二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

    II.二次函数的三种表达式

    一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

    顶点式:y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h,k)]

    交点式:y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,0)的抛物线]

    注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:

    h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

    III.二次函数的图像

    在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,

    可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

    IV.抛物线的性质

    1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

    x=-b/2a。

    对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

    特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

    2.抛物线有一个顶点P,坐标为

    P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

    当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时,P在x轴上。

    3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

    当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

    |a|越大,则抛物线的开口越小。

    4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

    当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;

    当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

    5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

    抛物线与y轴交于(0,c)

    6.抛物线与x轴交点个数

    Δ=b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

    Δ=b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

    Δ=b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)

    V.二次函数与一元二次方程

    特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,

    当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),

    即ax^2+bx+c=0

    此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

    函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

    1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:

    解析式

    顶点坐标

    对称轴

    y=ax^2

    (0,0)

    x=0

    y=a(x-h)^2

    (h,0)

    x=h

    y=a(x-h)^2+k

    (h,k)

    x=h

    y=ax^2+bx+c

    (-b/2a,[4ac-b^2]/4a)

    x=-b/2a

    当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,

    标签:数学知识点

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