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  • 2015年高中数学函数知识点大全

    编辑:sx_gaohm

    2015-09-29

    数学,作为人类思维的表达形式,反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。精品小编准备了高中数学函数知识点,具体请看以下内容。

    一次函数

    一、定义与定义式:

    自变量x和因变量y有如下关系:

    y=kx+b

    则此时称y是x的一次函数。

    特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。

    即:y=kx (k为常数,k≠0)

    二、一次函数的性质:

    1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k

    即:y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)

    2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。

    三、一次函数的图像及性质:

    1.作法与图形:通过如下3个步骤

    (1)列表;

    (2)描点;

    (3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)

    2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。

    3.k,b与函数图像所在象限:

    当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;

    当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。

    当b>0时,直线必通过一、二象限;

    当b=0时,直线通过原点

    当b<0时,直线必通过三、四象限。

    特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。

    这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。

    四、确定一次函数的表达式:

    已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。

    (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

    (2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②

    (3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。

    (4)最后得到一次函数的表达式。

    五、一次函数在生活中的应用:

    1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。

    2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

    六、常用公式:(不全,希望有人补充)

    1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(x1-x2)

    2.求与x轴平行线段的中点:|x1-x2|/2

    3.求与y轴平行线段的中点:|y1-y2|/2

    4.求任意线段的长:√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 (注:根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)

    二次函数

    I.定义与定义表达式

    一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:

    y=ax^2+bx+c

    (a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)

    则称y为x的二次函数。

    二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

    II.二次函数的三种表达式

    一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

    顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h,k)]

    交点式:y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x? ,0)和 B(x?,0)的抛物线]

    注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:

    h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

    III.二次函数的图像

    在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像,

    可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

    IV.抛物线的性质

    1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

    x= -b/2a。

    对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

    特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

    2.抛物线有一个顶点P,坐标为

    P( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )

    当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。

    3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

    当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

    |a|越大,则抛物线的开口越小。

    4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

    当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;

    当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

    5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

    抛物线与y轴交于(0,c)

    6.抛物线与x轴交点个数

    Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

    Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

    Δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)

    V.二次函数与一元二次方程

    特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,

    当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),

    即ax^2+bx+c=0

    此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

    函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

    1.二次函数y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:

    解析式 顶点坐标对 称 轴

    y=ax^2(0,0) x=0

    y=a(x-h)^2(h,0) x=h

    y=a(x-h)^2+k(h,k) x=h

    y=ax^2+bx+c(-b/2a,[4ac-b^2]/4a) x=-b/2a

    当h>0时,y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到,

    当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.

    当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;

    当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

    当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

    当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

    因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

    2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

    标签:数学知识点

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